Question

如圖，把正三角形ABC分成有限個全等的小正三角形，且在每個小三角形的頂點上都放置一個非零實數，使得任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數的乘積相等．設點A為第一行，…，BC為第n行，記點A上的數為a₁₁=1，…，第i行中第j個數為a_ij （1≤j≤i）．若a ₂₁=

1

2

，a ₂₂=

1

4

，則a₃₁+a₃₂+a₃₃=

 

．

Answer 1

分析：根據任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數的乘積相等，分別求出a₃₁、a₃₂、a₃₃的值，從而求出所求．

解答：解：∵任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數的乘積相等
∴a ₂₁•a ₂₂=

1

2

×

1

4

=a₁₁•a₃₂=1×a₃₂，
∴a₃₂=

1

8

，而a ₂₁•a ₃₂=

1

2

×

1

8

=a₂₂•a₃₁=

1

4

×a₃₁，
∴a₃₁=

1

4

，而a ₂₁•a ₃₃=

1

2

×a ₃₃=a₂₂•a₃₂=

1

4

×

1

8

，
∴a ₃₃=

1

16

∴a₃₁+a₃₂+a₃₃=

1

4

+

1

8

+

1

16

=

7

16

故答案為：

7

16

點評：本題主要考查了數列的應用，解題的關鍵就是根據任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數的乘積相等建立等式，屬于中檔題．