Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4，求二面角B-PC-A的余弦值．

Answer 1

分析：通過距離空間直角坐標(biāo)系，利用線面垂直的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．

解答：解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4），
易證

BD

為面PAC的法向量，則

BD

=(-2，-1，0)．
設(shè)面PBC的法向量

n

=(a，b，c)，

PB

=(0，1，-4)，

BC

=(-2，3，0)，
∴

n • PB =b-4c=0 n • BC =-2a+3b=0

，令c=1，則b=4，a=6．
∴面PBC的法向量

n

=(6，4，1)．
∴cos=

BD • n

| BD | | n |

=

-12-4

5 × 53

=-

16 265

265

．
∵面PAC和面PBC所成的角為銳角，∴二面角B-PC-A的余弦值為

16 265

265

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握通過距離空間直角坐標(biāo)系的方法利用兩個(gè)平面的法向量的夾角求出二面角是解題的關(guān)鍵．