Question

已知函數f（x）滿足：f(1)=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），則f（2012）=

-

1

4

．

Answer 1

分析：由于題目問的是f（2012），項數較大，故馬上判斷函數勢必是周期函數，所以集中精力找周期即可；周期的尋找方法可以是不完全歸納推理出，也可以是演繹推理得出．

解答：解：取x=1，y=0得f（0）=

1

2

，
取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
聯立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函數是周期函數，周期T=6，
故f（2012）=f（2），
取x=1，y=1得f（2）=-

1

4

，
∴f（2012）=f（2）=-

1

4

，
故答案為-

1

4

；

點評：準確找出周期是此類問題（項數很大）的關鍵，分別可以用歸納法和演繹法得出周期，解題時根據自己熟悉的方法得出即可．