Question

設離心率的橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是x軸正半軸上一點，以PF₁為直徑的圓經過橢圓M短軸端點，且該圓和直線相切，過點P直線橢圓M相交于相異兩點A、C．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若相異兩點A、B關于x軸對稱，直線BC交x軸與點Q，求Q點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設圓所過短軸端點為N，由|NF₁|=a，∠PNF₁=，，可判斷F₂（c，0）是以PF₁為直徑的圓的圓心，根據圓和直線相切可得，據此解得c值，從而得到a，b；
（Ⅱ）設點A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則點B（x₁，-y₁），設直線PA的方程為y=k（x-3），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，寫出直線BC的方程，令y=0可得點Q的橫坐標，代入韋達定理即可求得其值，從而得到點Q的坐標；
解答：解：（Ⅰ）設以PF₁為直徑的圓經過橢圓M短軸端點N，
∴|NF₁|=a，∠PNF₁=，∵，∴a=2c，
∴，|F₁P|=2a．
∴F₂（c，0）是以PF₁為直徑的圓的圓心，
∵該圓和直線相切，
∴，
∴，
∴橢圓M的方程為：．
（Ⅱ）設點A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則點B（x₁，-y₁），
設直線PA的方程為y=k（x-3），聯立方程組，
化簡整理得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△=（24k²）²-4•（3+4k²）•（36k²-12）＞0得．
則．
直線BC的方程為：，
令y=0，則，
∴Q點坐標為．
點評：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關系，考查學生對問題的分析解決能力，韋達定理、判別式是常用內容，要牢固掌握．