Question

【題目】已知函數f（x）＝ex﹣ax

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）若存在x1＜x2，且滿足f（x1）＝（x2）.證明；

（3）證明：（n∈N）．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求出，對分類討論，求出的解，即可得出結論；

（2）由（1）可得a＞0，且x1＜lna＜x2，問題轉化為證明，等價于證明，即證，即證f（x2）＞f（2lna﹣x2），

構造函數h（x）＝f（x）﹣f（2lna﹣x），x∈（lna，+∞），即可證明結論；

（3）對比證明不等式與的解析式關系，令，令，將不等式左式放縮為等比數列的和，即可證明結論.

（1）f′（x）＝ex﹣a，

當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上遞增，

當a＞0時，x＞lna時，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上遞增，

x＜lna時，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，lna）上遞減；

（2）由（1）知，a＞0，且x1＜lna＜x2，

記h（x）＝f（x）﹣f（2lna﹣x），x∈（lna，+∞），

則h′（x）2+（a﹣1）2﹣1＞0，

所以h（x）在（lna，+∞）上遞增，則h（x）＞h（lna）＝0，

所以f（x）＞f（2lna﹣x），則f（x2）＞f（2lna﹣x2），

因為f（x2）＝f（x1），f（x1）＞f（2lna﹣x2），

，

，所以；

（3）由（1）可知a＝e時，f（x）≥f（lne）＝0，

所以ex≥ex，所以ex﹣1≥x，當且僅當x＝1時取等號，

令x＝2n（n∈N），，當n＝0時取等號，

則（n∈N）．