Question

（本題14分）
設函數．
（1）求函數的單調遞增區間；
（2）若關于的方程在區間內恰有兩個相異的實根，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）函數的單調遞增區間為．（Ⅱ）．

試題分析：（1）確定出函數的定義域是解決本題的關鍵，利用導數作為工具，求出該函數的單調遞增區間即為f'（x）＞0的x的取值區間；
（2）方法一：利用函數思想進行方程根的判定問題是解決本題的關鍵．構造函數，研究構造函數的性質尤其是單調性，列出該方程有兩個相異的實根的不等式組，求出實數a的取值范圍．
方法二：先分離變量再構造函數，利用函數的導數為工具研究構造函數的單調性，根據題意列出關于實數a的不等式組進行求解．
解：（Ⅰ）函數的定義域為，………………………1分
∵，………………………2分
∵，則使的的取值范圍為，
故函數的單調遞增區間為． …………………………4分
（Ⅱ）方法1：∵，
∴．…………………6分
令，              
∵，且，
由．
∴在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，……………………9分
故在區間內恰有兩個相異實根……11分
即解得：．
綜上所述，的取值范圍是．………………13分
方法2：∵，
∴．………………6分
即，
令， ∵，且，
由．
∴在區間內單調遞增，在區間內單調遞減．………9分
∵，，，
又，故在區間內恰有兩個相異實根．……11分
即．
綜上所述，的取值范圍是．  …………………14分
點評：解決該試題的關鍵將方程的根的問題轉化為函數的圖象交點問題。