Question

定義在（0，+∞）的函數f（x），對于任意的a，b∈（0，+∞），都有f（ab）=f（a）+f（b）成立，當x＞1時，f（x）＜0．
（1）求證：1是函數f（x）的零點；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并證明；
（3）若f(

1

4

)=

1

2

，解不等式f(mx+

1

16

)＞1（m＞0）．

Answer 1

分析：（1）此問可以采用分析法分析，要證結論成立只需證f（1）=0，結合條件：任意的a，b∈（0，+∞），都有f（ab）=f（a）+f（b）成立，中的任意性只要對 a、b取特值即可解決此問題；
（2）根據函數單調性的定義，首先應在給定區間上任設兩數并限定大小，在充分利用條件：當x＞1時，f（x）＜0即可獲得兩數對應函數值之間的大小，從而問題即可獲得解答；
（3）首先結合所給不等式進行轉化，轉化為左右兩邊都為抽象表達形式的不等式，再結合所證明的單調性即可獲得問題的解答．

解答：證明：（1）令a=b=1，
則f（1×1）=f（1）+f（1）=f（1），
∴f（1）=0
∴1是函數f（x）的零點．
（2）令a=x，b=

1

x

，
則f（1）=f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=0，
∴f（

1

x

）=-f（x），
任意x₁、x₂∈（0，+∞），且x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1，
∴f(

x2

x1

) =f(x2) +f(

1

x1

) =f(x2) -f(x1)＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴函數f（x）在（0，+∞）上是單調遞減函數．
（3）∵f(

1

16

) =f(

1

4

) +f(

1

4

) =

1

2

+

1

2

=1，
∴不等式f(mx+

1

16

)＞1．即為：f(mx+

1

16

)＞f(

1

16

)，
又因為函數f（x）在（0，+∞）上是單調遞減函數，
∴0＜mx+

1

16

＜

1

16

，又∵m＞0，
解得：-

1

16m

＜x＜0
故不等式的解集為：x|-

1

16m

＜x＜0}．

點評：本題考查抽象函數及其應用．解決此類問題的關鍵是利用好條件中的函數性質等式．判斷抽象函數的單調性通常應用定義法．值得同學們體會和反思．