Question

如圖,正方體ABCDA₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段CC₁上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是　　　　(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)). 

①當(dāng)0<CQ<時(shí),S為四邊形;
②當(dāng)CQ=時(shí),S為等腰梯形;
③當(dāng)CQ=時(shí),S與C₁D₁的交點(diǎn)R滿足C₁R=;
④當(dāng)<CQ<1時(shí),S為六邊形;
⑤當(dāng)CQ=1時(shí),S的面積為.

Answer 1

①②③⑤

利用平面的基本性質(zhì)結(jié)合特殊四邊形的判定與性質(zhì)求解.
①當(dāng)0<CQ<時(shí),如圖(1).
在平面AA₁D₁D內(nèi),作AE∥PQ,
顯然E在棱DD₁上,連接EQ,
則S是四邊形APQE.

②當(dāng)CQ=時(shí),如圖(2).
顯然PQ∥BC₁∥AD₁,連接D₁Q,
則S是等腰梯形.
③當(dāng)CQ=時(shí),如圖(3).
作BF∥PQ交CC₁的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則C₁F=.
作AE∥BF,交DD₁的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,D₁E=,AE∥PQ,
連接EQ交C₁D₁于點(diǎn)R,由于Rt△RC₁Q∽R(shí)t△RD₁E,
∴C₁Q∶D₁E=C₁R∶RD₁=1∶2,
∴C₁R=.

④當(dāng)<CQ<1時(shí),如圖(3),連接RM(點(diǎn)M為AE與A₁D₁交點(diǎn)),顯然S為五邊形APQRM.
⑤當(dāng)CQ=1時(shí),如圖(4).
同③可作AE∥PQ交DD₁的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交A₁D₁于點(diǎn)M,顯然點(diǎn)M為A₁D₁的中點(diǎn),所以S為菱形APQM,其面積為MP×AQ=××=.