Question

（2013•安徽）如圖，互不相同的點A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…分別在角O的兩條邊上，所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積均相等，設OA_n=a_n，若a₁=1，a₂=2，則數列{a_n}的通項公式是

an=

3n-2

．

Answer 1

分析：設S△OA1B1=S，利用已知可得A₁B₁是三角形OA₂B₂的中位線，得到

S△OA1B1

S△OA2B2

=(

1

2

)2=

1

4

，梯形A₁B₁B₂A₂的面積=3S．由已知可得梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積=3S．利用相似三角形的性質面積的比等于相似比的平方可得：

a 2 2

a 2 1

=

4S

S

=

4

1

，

a 2 3

a 2 2

=

7S

4S

=

7

4

，

a 2 4

a 2 3

=

10

7

，…，已知

a

2 1

=1，

a

2 2

=4，可得

a

2 3

=7，…．因此數列{

a

2 n

}是一個首項為1，公差為3等差數列，即可得到a_n．

解答：解：設S△OA1B1=S，∵OA₁=a₁=1，OA₂=a₂=2，A₁B₁∥A₂B₂，
∴A₁B₁是三角形OA₂B₂的中位線，∴

S△OA1B1

S△OA2B2

=(

1

2

)2=

1

4

，∴梯形A₁B₁B₂A₂的面積=3S．
故梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積=3S．
∵所有A_nB_n相互平行，∴所有△OA_nB_n（n∈N^*）都相似，∴

a 2 2

a 2 1

=

4S

S

=

4

1

，

a 2 3

a 2 2

=

7S

4S

=

7

4

，

a 2 4

a 2 3

=

10

7

，…，
∵

a

2 1

=1，∴

a

2 2

=4，

a

2 3

=7，…．
∴數列{

a

2 n

}是一個等差數列，其公差d=3，故

a

2 n

=1+（n-1）×3=3n-2．
∴an=

3n-2

．
因此數列{a_n}的通項公式是an=

3n-2

．
故答案為an=

3n-2

．

點評：本題綜合考查了三角形的中位線定理、相似三角形的性質、等差數列的通項公式等基礎知識和基本技能，考查了推理能力和計算能力．