Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數），x∈R，F(x)=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0，且函數f（x）的值域為[0，+∞），求F（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍；
（3）設m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）為偶函數，判斷F（m）+F（n）能否大于零？

Answer 1

分析：（1）f（-1）=0?a-b+1=0，又值域為[0，+∞）即最小值為0?4a-b²=0，求出f（x）的表達式再求F（x）的表達式即可；
（2）把g（x）的對稱軸求出和區間端點值進行分類討論即可．
（3）f（x）為偶函數?對稱軸為0?b=0，把F（m）+F（n）轉化為f（m）-f（n）=a（m²-n²）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0來判斷即可．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0①（1分）
又函數f（x）的值域為[0，+∞），所以a≠0
且由y=a(x+

b

2a

)2+

4a-b2

4a

知

4a-b2

4a

=0即4a-b²=0②
由①②得a=1，b=2（3分）
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²．
∴F(x)=

(x+1)2(x＞0) -(x+1)2(x＜0)

（5分）
（2）由（1）有g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1=(x+

2-k

2

)2+1-

(2-k)2

4

，（7分）
當

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-2時，
即k≥6或k≤-2時，g（x）是具有單調性．（9分）
（3）∵f（x）是偶函數
∴f（x）=ax²+1，∴F(x)=

ax2+1(x＞0) -ax2-1(x＜0)

，（11分）
∵m＞0，n＜0，設m＞n，則n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|（13分）
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am²+1）-an²-1=a（m²-n²）＞0，
∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）

點評：本題是對二次函數性質的綜合考查．其中（1）考查了二次函數解析式的求法．二次函數解析式的確定，應視具體問題，靈活的選用其形式，再根據題設條件列方程組，即運用待定系數法來求解．在具體問題中，常常會與圖象的平移，對稱，函數的周期性，奇偶性等知識有機的結合在一起．