Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為

3

，且a2=

3

3

c．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析：（I）利用已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為

3

，且a2=

3

3

c．可得

c a = 3 a2= 3 3 c c2=a2+b2

，解得即可；
（II）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（s，t），利用“點差法”可得s-

t

2

=0，又線段AB的中點在圓x²+y²=5上，于是s²+t²=5，聯立解得s，t．再代入s-t+m=0即可得出m．

解答：解：（I）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為

3

，且a2=

3

3

c．
∴

c a = 3 a2= 3 3 c c2=a2+b2

，解得

a=1 c= 3 b2=2

∴雙曲線C的方程為x2-

y2

2

=1；
（2）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（s，t），則

s= x1+x2 2 t= y1+y2 2

，kAB=

y1-y2

x1-x2

=1．
由

x

2 1

-

y 2 1

2

=1，

x

2 2

-

y 2 2

2

=1，
兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)-

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0，∴s-

t

2

=0
又線段AB的中點在圓x²+y²=5上，∴s²+t²=5，聯立解得

s=1 t=2

，或

s=-1 t=-2

．
又中點M在直線x-y+m=0上，∴1-2+m=0或-1-（-2）+m=0，
解得m=1或-1．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、直線與雙曲線相交問題、“點差法”、“中點弦”問題、中點坐標公式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．