Question

（2013•南充一模）設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，已知對任意n∈N^*，S_n是

a

2 n

和a_n的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n是

a

2 n

和a_n的等差中項(xiàng)，知2S_n=an2+an，且a_n＞0，由此能夠證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由a_n=n，則Sn=

n(n+1)

2

，故

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此能夠證明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n是

a

2 n

和a_n的等差中項(xiàng)，
∴2S_n=an2+an，且a_n＞0，
當(dāng)n=1時，2a₁=a12+a₁，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時，有2S_n-1=an-12+a_n-1，
∴2S_n-2S_n-1=an2-an-12+an-an-1，
即2an=an2-an-12+an-an-1，
∴an2-an-12=a_n+a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，且a_n=n．
（Ⅱ）∵a_n=n，
則Sn=

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）＜2．
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．