Question

設數列{a_n}，{b_n}都是正項等比數列，S_n，T_n分別為數列{lga_n}與{lgb_n}的前n項和，且

Sn

Tn

=

n

2n+1

，則logb5a5=

9

19

．

Answer 1

分析：設{a_n}的公比為q，{b_n}的公比為p，則數列{lga_n}是等差數列，公差為lgq，{lgb_n}是等差數列，公差為lgp．求出S_n和T_n，由于

Sn

Tn

=

n

2n+1

=

lga1+ n-1 2 lgq

lgb1+ n-1 2 lgp

，根據 logb5a5=

lga5

lgb5

=

lga1+4lgq

lgb1+4lgp

=

S9

T9

，運算求得結果．

解答：解：設正項等比數列{a_n}的公比為q，設正項等比數列{b_n}的公比為p，則數列{lga_n}是等差數列，公差為lgq，{lgb_n}是等差數列，公差為lgp．
故 S_n =n•lga₁+

n(n-1)

2

• lgq，同理可得 T_n =n•lgb₁+

n(n-1)

2

• lgp．
又

Sn

Tn

=

n

2n+1

=

lga1+ n-1 2 lgq

lgb1+ n-1 2 lgp

，
∴logb5a5=

lga5

lgb5

=

lga1+4lgq

lgb1+4lgp

=

S9

T9

=

9

19

，
故答案為

9

19

．

點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式，對數的運算性質以及等差數列的前n項和公式的應用，屬于中檔題．