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已知x∈R,且f(x+1)= -f(x),則f(x+2)=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x),得f(x)的一個周期為2，類比上述結論，請寫出下列兩個函數的一個周期：?

（1）已知a為正常數，x∈R，且f(x+a)=-f(x),則f(x)的一個周期為      ；?

（2）已知a為正常數，x∈R，且f(x+a)=,則f(x)的一個周期為      .?

2a;4a  


解析:

（1）問，較容易猜出T=2a.第（2）問可以先建立三角模型：cot(x+)=,把cotx看作f(x)的一個原型，題中a相當于,由于f(x)=cotx的周期為T=π=4·,故可猜出4a為f(x)的一個周期，從而可轉化求證f(x+4a)=f(x),驗證方法：可先從f(x+2a)入手證得f(x+2a)=-,所以f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］=-=f(x).

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax2+4ax+b-1（a≠0且a，b∈R），不等式|f（x）|≤|2x2+8x-10|恒成立．
（Ⅰ）求證：-5和1是函數f（x）的兩個零點；并求實數a，b滿足的關系式；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[a，2]（a＜2）上的最小值g（a）；
（Ⅲ）令F（x）=
f(x)， x＞0
-f(x)  x＜0
，若mn＜0，m+n＞0，試確定F（m）+F（n）的符號，并說明理由．

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科目：高中數學 來源：甘肅省西北師大附中2012屆高三第一學期期中考試數學文科試題 題型：044

已知函數f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b為實數)，x∈R，F(x)＝

(1)若不等式f(x)＞4的解集為{x|x＜－3或x＞1}，求F(x)的表達式；

(2)在(1)的條件下，當x∈[－1，1]時，g(x)＝f(x)－kx是單調函數，求實數k的取值范圍；

(3)設m·n＜0，m＋n＞0，a＞0且f(x)為偶函數，判斷F(m)＋F(n)能否大于零？

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科目：高中數學 來源：2010年河南省許昌市長葛三高高考數學預測試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知x∈R，函數f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0處取得極值，曲線y=f（x）過原點O（0，0）和點P（-1，2）．若曲線y=f（x）在點P處的切線l與直線y=2x的夾角為45°，且直線l的傾斜角θ∈（，π），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數y=f（x）在區間[2m-1，m+1]上是增函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若x1、x2∈[-1，1]，求證：f（x1）-f（x2）≤4．

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科目：高中數學 來源：2010年全國統一高考數學預測試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知x∈R，函數f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0處取得極值，曲線y=f（x）過原點O（0，0）和點P（-1，2）．若曲線y=f（x）在點P處的切線l與直線y=2x的夾角為45°，且直線l的傾斜角θ∈（，π），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數y=f（x）在區間[2m-1，m+1]上是增函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若x1、x2∈[-1，1]，求證：f（x1）-f（x2）≤4．

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