Question

已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）如圖，設(shè)，，把代入得，

由韋達(dá)定理得，，

，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，

將代入上式得，

直線與拋物線相切，

，．

即．

（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，又是的中點(diǎn)，

．

由（Ⅰ）知

．

軸，．

又

       ．

，解得．

即存在，使．

解法二：（Ⅰ）如圖，設(shè)，把代入得

．由韋達(dá)定理得．

，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，

拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，．

（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使．

由（Ⅰ）知，則

，

，，解得．

即存在，使．