Question

20．對于兩個復數$α=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，$β=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，有下列四個結論：①αβ=1；②$\frac{α}{β}=1$；③$\frac{|α|}{|β|}=1$；④α³+β³=2，其中正確的結論的個數為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 直接利用復數的乘法、除法、復數的模的除法、復數的乘方運算求出數值，判斷結論的正誤即可．

解答 解：∵兩個復數$α=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，$β=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，
∴αβ=（-$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$）（-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$）=$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$=1，∴①正確；
$\frac{α}{β}$=$\frac{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}=\frac{（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}}{（-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}$=$-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，∴②不正確；
$\frac{|α|}{|β|}$=$\frac{|-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i|}{|-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i|}=\frac{\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}}{\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}}$=1，∴③正確；
∵$α=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，$β=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，是1的立方虛根，∴α³+β³=2，∴④正確．
∴正確的結論的個數為：3．
故選：C．

點評 本題考查復數的代數形式的混合運算，命題的真假的判斷，基本知識的考查，是基礎題．