Question

已知函數f（x）=x²-2ax+5，
（1）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]（a＞1），求實數a的值；
（2）若a≥2，求f（x）在[1，a+1]上最大值與最小值？（結果用a表示）

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）=x²-2ax+5配方，找出對稱軸，明確單調性，再利用函數最值求解．
（2）在（1）的基礎上，由a≥2，明確對稱軸x=a∈[1，1+a]且（a+1）-a≤a-1，從而明確了單調性，再求最值．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-2ax+5=（x-a）²+5-a²
又∵a＞1
∴f（x）在[1，a]上是減函數
∴

1-2a+5=a a2-2a2+5=1

?a=2；（5分）
（2）當a≥2時，對稱軸x=a∈[1，1+a]且（a+1）-a≤a-1
∴f（x）_max=f（1）=6-2a；
f（x）_min=f（a）=5-a²（5分）

點評：本題主要考查二次函數的單調性與對稱軸和開口方向有關，二次函數使用頻率很高，要注意靈活掌握．