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如圖，已知橢圓，O為原點，點M是橢圓右準線上的動點，以OM為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓交于P、Q兩點，直線PQ與橢圓相交于A、B兩點，則|AB|的取值范圍是    ．
【答案】分析：確定以OM為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的方程，利用圖形的對稱性，可知當M在x軸上時，|AB|最小，當M在無窮遠時，|AB|最大，由此可求得結論．
解答：解：設M（，m），則以OM為直徑的圓的圓心為，半徑為．
所以圓的方程為①
以橢圓長軸為直徑的圓的方程為x2+y2=a2②
根據圖形可知，當M在x軸上時，|AB|最小，此時方程①為③
②-③可得：x=c，代入橢圓方程，可得，∴，∴|AB|=．
當M在無窮遠時，|AB|最大，以OM為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓交于長軸的端點，∴|AB|→2a
∴|AB|的取值范圍是．
故答案為．
點評：本題考查圓的方程，考查圓與橢圓的綜合，考查了數形結合的解題思想與極限思想，解題的關鍵是確定圓的方程，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的長軸AB長為4，離心率e=
3
2
，O為坐標原點，過B的直線l與x軸垂直．P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線l于點M，N為MB的中點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）證明Q點在以AB為直徑的圓O上；
（3）試判斷直線QN與圓O的位置關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知△OFQ的面積為S，且
OF
•
FQ
=1．
（Ⅰ）若
1
2
＜S＜
3
2
，求＜
OF
，
FQ
＞的范圍；
（Ⅱ）設|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c.若以O為中心，F為一個焦點的橢圓經過點Q，以c為變量，當|
OQ
|取最小值時，求橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•崇明縣二模）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），M為橢圓上的一個動點，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A、B分別為橢圓的一個長軸端點與短軸的端點．當MF2⊥F1F2時，原點O到直線MF1的距離為
1
3
|OF1|．
（1）求a，b滿足的關系式；
（2）過F2作與直線AB垂直的直線，交橢圓于P、Q兩點，當三角形PQF1面積為20
3
時，求此時橢圓的方程；
（3）當點M在橢圓上變化時，求證：∠F1MF2的最大值為
π
2
．

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