Question

已知定義在R上的奇函數f（x），滿足f（x）=f（x+4），且f（1）=-1，則f（1）+f（2）…+f（10）的值為________．

Answer 1

解：∵f（x）=f（4+x），
故函數f（x）的周期為4．
∵定義在R上的奇函數f（x），
∴f（-x）=-f（x）
令x=0得f（0）=0；
令x=-2，得f（2）=-f（-2），又f（x）=f（4+x）中有：f（-2）=f（2），
∴f（2）=0，
類似地，有：f（3）=f（1）=-f（-1）=-1，
∴f（0）=0，f（1）=-1，f（2）=0，f（3）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（10）=2（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（9）+f（10）
=2（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）
=-1
故答案為：-1．
分析：本題f（x）滿足f（x）=f（x+4），即可得到函數f（x）的周期為4，根據奇函數的性質得到f（0）=0，再通過賦值法得到f（1），f（2），f（3），f（4）即可求解．
點評：本題通過賦值法結合奇函數的性質，利用周期性和圖象平移的知識即可求解，屬于基礎題．