Question

已知函數在[1，+∞）上為增函數，且θ∈（0，π），，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調函數，求m的取值范圍；
（3）設，若在[1，e]上至少存在一個x，使得f（x）-g（x）＞h（x）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，結合θ∈（0，π），可以得到θ的值．
（2）由題設條件知．mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．由此知，由此可知m的取值范圍．
（3）構造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），．由此入手可以得到m的取值范圍是．
解答：解：（1）由題意，≥0在[1，+∞）上恒成立，即．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只須sinθ•1-1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．結合θ∈（0，π），得．
（2）由（1），得f（x）-g（x）=．
∴．
∵f（x）-g（x）在其定義域內為單調函數，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx²-2x+m≥0等價于m（1+x²）≥2x，即，
而，（）_max=1，∴m≥1．mx²-2x+m≤0等價于m（1+x²）≤2x，即
在[1，+∞）恒成立，而∈（0，1]，m≤0．
綜上，m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）構造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），．
當m≤0時，x∈[1，e]，，，
所以在[1，e]上不存在一個x，使得f（x）-g（x）＞h（x）成立．
當m＞0時，．
因為x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上單調遞增，，只要，
解得．
故m的取值范圍是．
點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件，仔細解答．