Question

已知定義在區間（0，+∞）上的函數f（x）滿足f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，且當x＞1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性并加以證明；
（3）若f（3）=-1，解關于x不等式f（x²-3x-1）＜-2．

Answer 1

分析：（1）賦值法可解；
（2）定義法證明函數的單調性；
（3）利用（2）中的單調性化不等式為x²-3x-1＞9，可得答案．

解答：解：（1）由任意性，令x₁=x₂∈（0，+∞），則f（1）=f（x₁）-f（x₁）=0．
（2）f（x）在（0，+∞）上是減函數．下面證明
證明：任取0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)，
∵

x2

x1

＞1，又由已知 f(

x2

x1

)＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數．
（3）f(3)=f(

9

3

)=f(9)-f(3)，由f（3）=-1得f（9）=-2．
則f（x²-3x-1）＜-2，可化為f（x²-3x-1）＜f（9），
∵f（x）在（0，+∞）上是減函數，
∴x²-3x-1＞9，解得x＜-2或x＞5．
∴原不等式的解集為{x|x＜-2或x＞5}．

點評：本題為函數的單調性的證明，并利用單調性來求解不等式，屬基礎題．