Question

13．已知函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+bx．
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=6x-8，求實數a、b的值；
（2）若b=6a，a＞1，求f（x）在閉區間[0，4]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（2），f（2）的值，求出a，b的值即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，通過討論a的范圍求出函數的最小值即可．

解答 解：（1）切線方程為y=6x-8，f′（x）=6x²-6（a+1）x+b，
所以f′（2）=6，又因為f（2）=4，解得：a=1，b=6．
（2）記g（a）為 f（x）在閉區間[0，4]上的最小值，
f′（x）=6（x-1）（x-a），
令f′（x）=0，得到x=1或a，
當1＜a＜4時，

x	0	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	單調 遞增	極大值 3a-1	單調 遞減	極小值 a2（3-a）	單調 遞增	80-24a

比較f（0）=0和f（a）=a²（3-a）的大小可得：
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{0，1＜a≤3}\\{{a}^{2}（3-a），3＜a＜4}\end{array}\right.$                                       
當a≥4時，

x	0	（0，1）	1	（1，4）	4
f′（x）		+	0	-
f（x）	0	單調 遞增	極大值 3a-1	單調 遞減	80-24a

得g（a）=80-24a                                               
綜上所述，f（x）在閉區間[0，4]上的最小值為
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{0，1＜a≤3}\\{{a}^{2}（3-a），3＜a＜4}\\{80-24a，a≥4}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．