Question

如圖，在棱長為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點．
（Ⅰ）求平面BDD₁與平面BFC₁所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）若點P在正方形ABCD內部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）確定平面BDD₁的一個法向量、平面BFC₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面BDD₁與平面BFC₁所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）設P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），確定y的范圍，表示出EP，即可求EP的最大值、最小值．

解答：解：（I）平面BDD₁的一個法向量為

MA

=(

1

2

，-

1

2

，0)
設平面BFC₁的法向量為

n

=(x，y，z)

n • BF =- 1 2 y+z=0 n • BC =(x，y，z)•(-1，0，1)=-x+z=0

∴

x=z y=2z

取z=1得平面BFC₁的一個法向量

n

=(1，2，1)
∴cos＜

MA

，

n

＞=

MA • n

| MA || n |

=

1 2 -1

2 2 6

=-

3

6

∴所求的余弦值為

3

6

…（5分）
（II）設P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），

EP

=(x-

1

2

，y，-1)，
由

EP

•

n

=0得(x-

1

2

)+2y-1=0
即x=-2y+

3

2

，
∵0≤x≤1，∴0≤-2y+

3

2

≤1，∴

1

4

≤y≤

3

4

∴|

EP

|=

(x- 1 2 )2+y2+1

=

(2y-1)2+y2+1

=

5y2-4y+2

=

5(y- 2 5 )2+ 6 5

∵

1

4

≤y≤

3

4

，∴當y=

2

5

時，∴|

EP

|min=

30

5

，當y=

3

4

時，∴|

EP

|max=

29

4

…（10分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．