Question

已知正三棱錐P-ABC的外接球心為O，且滿足

OA

+

OB

+

OC

=

0

，如果球的半徑為

2

，則正三棱錐的體積為

6

2

．

Answer 1

分析：由題意

OA

+

OB

+

OC

=

0

，可知球心在三棱錐的底面中心，推出球的半徑，求出正三棱錐的高，底面面積，即可得到球的體積．

解答：解：正三棱錐P-ABC的外接球心為O，且滿足

OA

+

OB

+

OC

=

0

，所以球心在三棱錐的底面中心，球的半徑為

2

，
所以正三棱錐的高為：

2

，正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為：2

( 2 )2-( 2 2 )2

=

6

，
所以底面面積為：

3

4

×(

6

)2=

3 3

2

，
所以正三棱錐的體積：

1

3

×

3 3

2

×

2

=

6

2

，
故答案為：

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，確定球的球心的位置是解題的關(guān)鍵，注意正三棱錐的體積的求法，正三角形的面積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，空間想象能力．