Question

已知函數(shù)．

（1）若在上恒成立，求m取值范圍；

（2）證明：2 ln2 + 3 ln3+…+ n lnn（）．

 

Answer 1

【答案】

解：令在上恒成立

           4分

(1) 當(dāng)時(shí)，即時(shí)

   在恒成立．在其上遞減．

原式成立．

當(dāng)即0<m<1時(shí)

 

不能恒成立．

綜上： 9分

(2) 由 (1) 取m=1有l(wèi)nx

令x=n

化簡(jiǎn)證得原不等式成立．    12分

 

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問(wèn)題，以及研究函數(shù)的最值的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)槿?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414452433799693/SYS201208241445590290169074_DA.files/image018.png">在上恒成立，求m取值范圍；那么關(guān)鍵是求解函數(shù)的最小值恒大于等于零即可。

（2）由 (1) 取m=1有l(wèi)nx，利用放縮法得到，然后求和證明結(jié)論。

解：令在上恒成立

           4分

(1) 當(dāng)時(shí)，即時(shí)

   在恒成立．在其上遞減．

原式成立．

當(dāng)即0<m<1時(shí)

 

不能恒成立．

綜上： 9分

(2) 由 (1) 取m=1有l(wèi)nx

令x=n

化簡(jiǎn)證得原不等式成立．    12分