Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求證：AB∥平面PCD
（2）求證：BC⊥平面PAC．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證AB∥平面PCD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AB與平面PCD內一直線平行，而AB∥DC，且AB?平面PCD，滿足定理所需條件；
（2）欲證BC⊥平面PAC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面PAC內兩相交直線垂直，過C作CE⊥AB于點E，根據三邊AC²+BC²=AB²滿足勾股定理可知BC⊥AC，而PA⊥BC，PA∩AC=A，滿足定理所需條件．
解答：證明：（1）證明：∵AB∥DC，且AB?平面PCD
∴AB∥平面PCD．
（2）證明：在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB于點E，則四邊形ADCE為矩形，
∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1，在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴CE=BE=1，
∴AD=CE=1，
則，AC²+BC²=AB²
∴BC⊥AC
又∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BC（7分）PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC
點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．