Question

已知f(x)=x+

b

x

-3，x∈[1，2]
（1）b=2時，求f（x）的值域；
（2）b≥2時，f（x）＞0恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當b=2時，f(x)=x+

2

x

-3，x∈[1，2]，利用雙鉤函數的單調性即可求得f（x）的值域；
（2））b≥2時，f（x）＞0恒成立，即求函數f（x）的最小值＞0即可，利用基本不等式求最值，一定注意等號成立的條件，因此對b進行討論，當2≤b＜4時，f（x）最小值為f(

b

)=2

b

-3，b≥4時，f（x）在[1，2]上單調遞減，f（x）最小值為f(2)=

b

2

-1，從而求得b的取值范圍．

解答：解：（1）當b=2時，f(x)=x+

2

x

-3，x∈[1，2]．
因為f（x）在[1，

2

]上單調遞減，在[

2

，2]上單調遞增，
所以f（x）的最小值為f(

2

)=2

2

-3．
又因為f（1）=f（2）=0，
所以f（x）的值域為[2

2

-3，0]．
（2）（ⅰ）當2≤b＜4時，因為f（x）在[1，

b

]上單調遞減，在[

b

，2]上單調遞增，
f（x）最小值為f(

b

)=2

b

-3，f（x）＞0，即2

b

-3＞0．
得4＞b＞

9

4

．
（ⅱ）b≥4時，f（x）在[1，2]上單調遞減，f（x）最小值為f(2)=

b

2

-1，f（x）＞0，
即

b

2

-1＞0，得b＞2，因此b≥4．
綜合（ⅰ）（ⅱ）可知b＞

9

4

．

點評：此題是個中檔題．考查利用基本不等式求函數的最值問題，注意正定等，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力．