Question

如圖，ABCD是邊長為2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角C-AB-F是直二面角，AF=a，G是EF的中點．
（Ⅰ）求證：平面AGC⊥平面BGC；
（Ⅱ）求GB與平面AGC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B-AC-G的大小．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）要證平面AGC⊥平面BGC，只需證明，平面AGC內的直線AG，垂直平面BGC內的兩條相交直線BC、BG即可．
（Ⅱ）作BH⊥GC，垂足為H，說明∠BGH是BG與平面AGC所成的角，解三角形BGH，求GB與平面AGC所成角的大小；
（Ⅲ）BH⊥平面AGC．作BO⊥AC，垂足為O，連接HO，說明∠BOH為二面角B-AC-G的平面角，解△CBG求二面角B-AC-G的大小．
法二：以A為原點建立直角坐標系A-xyz，
（Ⅰ）求出向量

AG

，

BG

，

BC

，計算

AG

•

BG

=0，

AG

•

BC

=0證明AG⊥平面BGC，即可．
（Ⅱ）求出平面AGC的一個法向量n，以及

BG

，利用sinθ=

| BG •n|

| BG |•|n|

，求GB與平面AGC所成角的大小；
（Ⅲ）求出平面ABCD的一個法向量，平面AGC的一個法向量n，由|cosα|=

| n • AF |

| AF |•|n|

，求二面角B-AC-G的大小．

解答：解：解法一：（Ⅰ）∵正方形ABCD，
∴CB⊥AB．
又二面角C-AB-F是直二面角，
∴CB⊥平面ABEF．
∵AG?平面ABEF，
∴CB⊥AG．
又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中點，
∴AG=BG=

2

a，AB=2a，AB²=AG²+BG²，
∴BG⊥AG又BC∩BG=B，
∴AG⊥平面CBG，
而AG?平面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．（5分）
（Ⅱ）如圖，由（Ⅰ）知平面AGC⊥平面BGC，
且交于GC，在平面BGC內作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC．
∴∠BGH是BG與平面AGC所成的角．（7分）
∴在Rt△CBG中，BG=

2

a，∴tanBGH=

CB

BG

=

2a

2 a

=

2

．
∴∠BGH=arctan

2

．
即BG與平面AGC所成的角為arctan

2

．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ），BH⊥平面AGC．作BO⊥AC，垂足為O，連接HO，則HO⊥AC，
∴∠BOH為二面角B-AC-G的平面角．（11分）
∵在Rt△ABC中，BO=

2

a，在Rt△CBG中，BH=

BC•BG

CG

=

2a• 2 a

6 a

=

2 3

3

a．
∴在Rt△BOH中，sinBOH=

BH

BO

=

6

3

，∠BOH=arcsin

6

3

．（13分）
即二面角B-AC-G的大小為arcsin

6

3

．（14分）

解法二：
如圖，以A為原點建立直角坐標系A-xyz，
則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）．
（Ⅰ）

AG

=（a，a，0），

BG

=
（a，-a，0），

BC

=（0，0，2a），
∴

AG

•

BG

=（a，a，0）•（a，-a，0）=0，

AG

•

BC

=（a，a，0）•（0，0，2a）=0．
∴AG⊥BG，AG⊥BC，
∴AG⊥平面BCG，又AG?平面ACG，
故平面ACG⊥平面BCG．（5分）
（Ⅱ）設GB與平面AGC所成角為θ．
由題意可得

AG

=（a，a，0），

AC

=（0，2a，2a），

BG

=（a，-a，0）．
設平面AGC的一個法向量為n=（x，y，1），
由

AG •n=0 AC •n=0

?

ax+ay=0 2ay+2a=0

?

x=1 y=-1

?n=(1，-1，1)．
∴sinθ=

| BG •n|

| BG |•|n|

=

2a

2 a• 3

=

6

3

．
∴GB與平面AGC所成角的大小為arcsin

6

3

（9分）
（Ⅲ）因n=（1，-1，1）是平面AGC的一個法向量，
又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的一個法向量

AF

=（a，0，0），
∴設n與

AF

的夾角為α，得|cosα|=

| n • AF |

| AF |•|n|

=

a

3 a

=

3

3

，
∴二面角B-AC-G的大小為arccos

3

3

．（14分）

點評：本題考查平面與平面垂直，直線與平面所成角及二面角的求法，考查計算能力，空間想象能力，邏輯思維能力，轉化思想，是中檔題．