Question

已知數列{a_n}滿足a₁=0，a₂＝1，當n∈N^*時，a_n+2=a_n+1+a_n.求證:數列{a_n}的第4m+1項?(m∈N^*)?能被3整除.

Answer 1

證明：(1)當m=1時,?

a_4m+1=a₅=a₄+a₃=(a₃+a₂)+(a₂+a₁)?

=(a₂+a₁)+2a₂+a₁=3a₂+2a₁=3+0=3,?

即當m=1時,第4m+1項能被3整除.?

(2)假設當m=k時,a_4k+1能被3整除,則當m=k+1時,?

a_4(k+1)+1=a_4k+5=a_4k+4+a_4k+3=2a_4k+3+a_4k+2?

=2(a_4k+2+a_4k+1)+a_4k+2=3a_4k+2+2a_4k+1.?

顯然,3a_4k+2能被3整除,又由假設知a_4k+1能被3整除.?

∴3a_4k+2+2a_4k+1能被3整除,?

即當m=k+1時,a_4(k+1)+1也能被3整除.?

由(1)和(2)知,對于n∈N^*,數列{a_n}中的第4m+1項能被3整除.