Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n-1-a_n=2a_na_n-1（n≥2且n∈N）．
（1）求證：數列{

1

an

}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足bn=

2n

an

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}滿足a₁=1，a_n-1-a_n=2a_na_n-1（n≥2且n∈N）．可得

1

an

-

1

an-1

=2，即數列{

1

an

}為等差數列．利用其通項公式即可得出；
（2）利用（1）可得bn=(2n-1)•2n，再利用“錯位相減法”即可得出S_n．

解答：解：（1）∵數列{a_n}滿足a₁=1，a_n-1-a_n=2a_na_n-1（n≥2且n∈N）．
∴

1

an

-

1

an-1

=2，
∴數列{

1

an

}為等差數列．
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)×2=2n-1．
∴an=

1

2n-1

．
（2）∵bn=(2n-1)•2n，
∴Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，
2Sn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1，
兩式相減得-Sn=1×2+2×(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1
=2×（2+2²+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=2×

2×(2n-1)

2-1

-（2n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．