Question

橢圓C的中心為坐標原點，上焦點（0，c）到直線y=

a2

c

的距離為

2

2

，離心率也為

2

2

，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A，B．
（ I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若

AP

=3

PB

，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（ I）  因為點（0，c）到直線y=

a2

c

的距離為

a2

c

-c，所以可得，

a2

c

-c=

2

2

再根據離心率也為

2

2

，可得，

c

a

=

2

2

，兩式聯立，即可求出a，b，c，橢圓C的方程即可求出．
（Ⅱ）先設出直線l的方程，代入（ I）中所求出的橢圓方程中，消y，德關于x的一元二次方程，求兩根之和，兩根之積，再根據

AP

=3

PB

，就可把k²用含m的式子表示，再根據k²的范圍，求出m的范圍．

解答：解：（ I）設橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，設c²=a²-b²
由條件知

a2

c

-c=

2

2

，

c

a

=

2

2

∴a=1，b=c=

2

2

故橢圓C的方程為：y2+

x2

1 2

=1
（Ⅱ）設l：y=kx+m，聯立 

y=kx+m 2x2+y2=1

，
消去y 并化簡得：（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

因

AP

=3

PB

即-x₁=3x₂

x1+x2=-2x2 x1x2=-3 x 2 2

消 x₂得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0∴3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0
整理得 4k²m²+2m²-k²-2=0…（9分）
當m2=

1

4

時，上式不成立；∴m2≠

1

4

．此時k2=

2-2m2

4m2-1

因

AP

=3

PB

∴k≠0∴

2-2m2

4m2-1

＞0∴

1

4

＜m2＜1，即-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1
∴所求m的取值范圍為(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)

點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓位置關系的判斷，計算量較大，做題時一定要認真．