Question

在△ABC中，角A的對邊長等于2，向量=，向量=．
（1）求•取得最大值時的角A的大小；
（2）在（1）的條件下，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

解：（1）•=2-．
因為A+B+C=π，所以B+C=π-A，
于是•=+cosA=-2=-2．
因為，所以當且僅當=，即A=時，•取得最大值．
故•取得最大值時的角A=；

（2）設角、B、C所對的邊長分別為a、b、c由余弦定理，得b²+c²-a²=2bccosA
即bc+4=b²+c²≥2bc，所以bc≤4，當且僅當b=c=2時取等號．
又S_△ABC=bcsinA=bc≤．當且僅當a=b=c=2時，△ABC的面積最大為．
分析：（1）根據平面向量的數量積的運算法則求出•，然后根據三角形的內角和定理，利用二倍角的余弦函數公式化簡后進行配方得到•=-2，由為銳角，利用二次函數求最值得到•取最小值時sin=，根據特殊角的三角函數值求出A即可；
（2）由a=2，根據第一問求得cosA的值，利用余弦定理和基本不等式求出bc的最大值，根據S_△ABC=bcsinA=bc，把bc的最大值代入到面積公式里得到面積的最大值．
點評：考查學生會進行平面向量的數量積的運算，靈活運用二次函數求值的方法及靈活運用余弦定理化簡求值．會利用基本不等式求最值．