Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點．
（1）判定AC與平面B₁DE的位置關系，并證明；
（2）求證：平面B₁DE⊥平面B₁BD；
（3）求二面角B-B₁E-D的大小．

Answer 1

分析：（1）先判斷出結論，線與面平行，再作輔助線證明線面平行，由線面平行的判定定理知，須先證線線平行，由圖形知延長B₁E交BC的延長線于M，證明CM∥AD即可
（2）證明面面垂直要用面面垂直的判定理，由題意知可證明DM⊥平面BDB₁及DM?平面B₁DE證明平面B₁DE⊥平面B₁BD；
（3）求二面角平面角，要先作角，證角，再求角，由圖形知作BH⊥B₁D于H，由（2）知BH⊥平面B₁DE，作OH⊥B₁E于O，連接BO，則BO⊥B₁E，由此得∠BOH為二面角B-B₁E-D的平面角．

解答：解：（1）線與面是平行的關系，證明如下：
延長B₁E交BC的延長線于M，
∵E為CC₁的中點，
∴Rt△ECM≌Rt△EC₁B₁．
∴CM=B₁C₁=AD．又CM∥AD，
∴ACMD為平行四邊形．
∴AC∥DM．
又AC平面B₁DE，DM?平面B₁DE，
∴AC∥平面B₁DE．（5分）
（2）證明：∵BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AC．
又ABCD為正方形，
∴BD⊥AC．
∴AC⊥平面BDB₁．
∵DM∥AC，
∴DM⊥平面BDB₁．
又DM?平面B₁DE，
∴平面B₁DE⊥平面B₁BD．（10分）
（3）解：作BH⊥B₁D于H，由（2）知BH⊥平面B₁DE，作OH⊥B₁E于O，連接BO，則BO⊥B₁E，
∴∠BOH為二面角B-B₁E-D的平面角．
在Rt△B₁BD中，BH=

BD•BB1

B1D

=

2

3

，連接BE，則BO是等腰△BB₁E的腰B₁E上的高，
∴BO=

BB1•CB

5 2 B1B

=

2

5

．
在Rt△BHO中，sin∠BOH=

BH

BO

=

30

6

，
∴二面角B₁-BE-D的大小為arcsin

30

6

．（14分）

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，面面垂直的證明以及二面角的度量等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力，屬于難度較高的題，本題解題的關鍵是找出二面角的平面角，放在一個可解的三角形中解出結果．