Question

若P是等邊三角形ABC所在平面外一點，PA=PB=PC=

2

3

，△ABC的邊長為1，則PC和平面ABC所成的角是（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：取AB中點D，連接PD、CD，可證明出平面PCD⊥平面ABC，從而得到∠PCD是直線PC和平面ABC所成的角．在△PCD中，算出PD、CD的長，用余弦定理算出cos∠PCD的值，從而得到∠PCD的度數，即為PC和平面ABC所成的角．

解答：解：取AB中點D，連接PD、CD，
∵PA=PB，D為AB中點，∴PD⊥AB，同理可得CD⊥AB
∵PD、CD是平面PCD內的相交直線
∴AB⊥平面PCD
∵AB?平面ABC，∴平面PCD⊥平面ABC，
由此可得直線PC在平面ABC內的射影是直線CD，
∴∠PCD是直線PC和平面ABC所成的角
∵△PAB中，PA=PB=

2

3

，AB=1
∴PD=

PA2-( 1 2 AB)2

=

7

6

又∵正△ABC中，CD=

3

2

AB=

3

2

∴△PCD中，cos∠PCD=

PC2+CD2-PD2

2PC×CD

=

3

2

結合∠PCD是小于180°的正角，可得∠PCD=30°
即PC和平面ABC所成的角等于30°
故選：A

點評：本題在正三棱錐中求側棱與底面所成角的大小，著重考查了線面垂直、面面垂直的證明和直線與平面所成角大小的求法等知識，屬于中檔題．