Question

已知{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=2a_n+1，
（1）求證：{a_n+1}是等比數列；
（2）求這個數列的通項公式a_n．

Answer 1

分析：（1）由題意變形可得

an+1+1

an+1

=2，可得結論；（2）又可知a₁+1=4，由等比數列的通項公式可得a_n+1=2ⁿ⁺¹，變形可得．

解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2a_n+2，
即a_n+1+1=2（a_n+1），

an+1+1

an+1

=2
故可得數列{a_n+1}是2為公比的等比數列；
（2）又可知a₁+1=3+1=4，
故a_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴an=2n+1-1

點評：本題考查等比數列的通項公式，涉及等比關系的確定，屬基礎題．