Question

（07年江西卷理）（12分）

設動點到點和的距離分別為和，，且存在常數，使得．

（1）證明：動點的軌跡為雙曲線，并求出的方程；

（2）過點作直線雙曲線的右支于兩點，試確定的范圍，使，其中點為坐標原點．

Answer 1

解析：解法一：（1）在中，，即，

，即（常數），

點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線．

方程為：．

（2）設，

①當垂直于軸時，的方程為，，在雙曲線上．

即，因為，所以．

②當不垂直于軸時，設的方程為．

由得：，

由題意知：，

所以，．

于是：．

因為，且在雙曲線右支上，所以

．

由①②知，．

解法二：（1）同解法一

（2）設，，的中點為．

①當時，，

因為，所以；

②當時，．

又．所以；

由得，由第二定義得

．

所以．

于是由得

因為，所以，又，

解得：．由①②知．