Question

如圖所示，已知D是面積為1的△ABC的邊AB上任一點，E是邊AC上任一點，連接DE，F是線段DE上一點，連接BF，設，且，記△BDF的面積為s=f（λ₁，λ₂，λ₃），則S的最大值是（ ）
【注：必要時，可利用定理：若a，b，c∈R⁺，則，（當且僅當a=b=c時，取“=”）】

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由三角形ABC的面積為1且 可求三角形ADE的面積，再由△DMB∽△DEA可得 從而有 ，求出三角形DEF的面積之后，利用基本不等式可求面積的最大值
解答：解：分別過B，A作BM⊥DE，AN⊥DE，垂足分別為M，N，設MB=h₁，AN=h₂
則==λ₁λ₂
∴S_△ADE=λ₁λ₂S_△ABC=λ₁λ₂
∵△DMB∽△DNA
∴=
從而有 ==
∴S=λ₂•λ₃（1-λ₁）=
當且僅當 λ₂=λ₃=1-λ₁=取等號即S的最大值為
故選：D


點評：本題以向量的共線為切入點，利用向量的共線轉化為線段的長度關系，解決本題的關鍵是根據三角形的面積公式先求出三角形ADE的面積；關鍵二是把所求的三角形的面積與三角形ADE的面積之間通過三角形的像似建立聯系．本題是一道構思非常巧妙的試題，要求考試不但要熟練掌握基礎知識，更要具備綜合解決問題的能力．