Question

【題目】如圖，橢圓經過點，且點到橢圓的兩焦點的距離之和為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若是橢圓上的兩個點，線段的中垂線的斜率為且直線與交于點，為坐標原點，求證：三點共線.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】分析：(1)根據橢經過點，且點到橢圓的兩焦點的距離之和為，結合性質 ，，列出關于 、 的方程組，求出 、 ，即可得橢圓的標準方程；(2)可設直線的方程為，聯立得，設點，根據韋達定理可得，所以點在直線上，

又點也在直線上，進而得結果.

詳解：(1)因為點到橢圓的兩焦點的距離之和為，

所以，解得

又橢圓經過點，所以，

所以

所以橢圓的標準方程為.

(2)證明：因為線段的中垂線的斜率為，

所以直線的斜率為，

所以可設直線的方程為

據得

設點，

所以，

所以.

因為，所以

所以點在直線上，

又點也在直線上，

所以三點共線.