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已知長方體ABCD-A′B′C′D′,AB=2,AA′=1,直線BD與平面AA′B′B所成角為30°,E為A′B′的中點.
(1)求異面直線AC與BE所成的角;
(2)求A點到平面BDE的距離.
分析:(1)取C′D′在中點O,連接EO,OC,AC,則∠OCA(或其補角)為異面直線AC與BE所成的角,利用余弦定理可求;
(2)利用VA-BDE=VD-ABE,可求A點到平面BDE的距離.
解答:解:(1)如圖,取C′D′在中點O,連接EO,OC,AC,
∵E為A′B′的中點,
∴四邊形EOCB是平行四邊形
∴EB∥OC
∴∠OCA(或其補角)為異面直線AC與BE所成的角
∵DA⊥平面AA′B′B,直線BD與平面AA′B′B所成角為30°,
∴∠DBA=30°
∵AB=2,∴AD=
2
3
3
,DB=
4
3
3

△AOC中,OC=
2
,AC=
4
3
3
,AO=
3

∴cos∠OCA=
(
4
3
3
)2+2-3
2•
4
3
3
2
=
13
6
48

∴∠COA=arccos
13
6
48

(2)設A點到平面BDE的距離為h,則
在△BDE中,BE=
2
,DB=
4
3
3
,DE=
10
3

∴DB2=BE2+DE2
∴S△BDE=
1
2
×
2
×
10
3
=
60
6

S△AEB=
1
2
×2×1=1
,VA-BDE=VD-ABE
1
3
×
60
6
×h=
1
3
×1×
2
3
3

∴h=
2
5
5
點評:本題考查異面直線所成角,考查點到面的距離的計算,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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(2)求直線AB1與平面DA1M所成的角(結果用反三角函數值表示).

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2
,點E是B1C1的中點,點F在AB上,建立空間直角坐標系如圖所示.
(1)求
AE
的坐標及長度;
(2)求點F的坐標,使直線DF與AE的夾角為90°.

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已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是BB1和BC的中點,AB=4,AD=2,BB1=2
15
,求異面直線B1D與MN所成角的余弦值.

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(Ⅱ)求直線DE與平面A1B1C所成角的正弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知長方體ABCD-A1B1C1D1,下列向量的數量積一定不為0的是(  )
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A、
AD1
B1C
B、
BD1
AC
C、
AB
AD1
D、
BD1
BC

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同步練習冊答案
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