Question

設f （x）是定義在[-1，1]上的偶函數，f （x）與g（x）的圖象關于x=1對稱，且當x∈[2，3]時，g（x）=a （x-2）-2 （x-2）³（a為常數）．
（Ⅰ）求f （x）的解析式；
（Ⅱ）若f （x）在[0，1]上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若a∈（-6，6），問能否使f （x）的最大值為4？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根據f（x）與g（x）的圖象關于直線x=1對稱得出f（x）=g（2-x），根據g（x）的解析式，求出f（x）在[-1，0]上的解析式；再根據f（x）為偶函數得出f（x）在[-1，0]上的解析式．
（II）先求出f（x）在[0，1]上的導函數f’（x）=再根據其單調增可知f’（x）≥0，進而求出a的范圍．
（III）因為f（x）為偶函數，故只需考慮x∈[0，1]，根據f（x）的導函數f’（x）=0，得出x的表達式，代入函數求得x=1，進而推斷函數的最大值不可能是4．．
解答：解：（I）∵f（x）與g（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x）=g（2-x）．
∴當x∈[-1，0]時，2-x∈[2，3]，
∴f（x）=g（2-x）=-ax+2x³．
又∵f（x）為偶函數，
∴x∈[[0，1]時，-x∈[-1，0]，
∴f（x）=f（-x）=ax-2x³．
∴f（x）=．
（II）∵f（x）為[0，1]上的增函數，
∴f’（x）=a-6x²≥0Þa≥6x²在區間[0，1]上恒成立．
∵x∈[0，1]時，6x²≤6
∴a≥6，即a∈[6，+∞）．
（III）由f（x）為偶函數，故只需考慮x∈[0，1]，
由f′（x）=0得x=，
由f（）=4Þa=6，
此時x=1，
當a∈（-6，6）時，f（x）的最大值不可能為4．
點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的綜合運用．要利用好函數的對稱性和根據導函數的性質來判斷函數的單調性．