Question

【題目】定義在R上的函數滿足，且當時，，對任意R，均有．

（1）求證：；

（2）求證：對任意R，恒有；

（3）求證：是R上的增函數；

（4）若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析； （3）見解析； （4） .

【解析】

（1）利用賦值法，令a＝b＝0，求解f (0)的值即可；

（2）分類討論x < 0和兩種情況證明題中的不等式即可；

（3）由函數的性質可證得當時，f (x2) > f (x1)，則f(x)是R上的增函數．

（4）由題意結合函數的單調性和函數在特殊點的函數值可得x的取值范圍是(0，3)．

（1）證明：令a＝b＝0，得f (0)＝f 2 (0)，又因為f (0) ≠ 0，所以f (0)＝1.

（2）當x < 0時，－x >0，

所以f (0) ＝f (x) f (－x) ＝1，即，

又因為時，，所以對任意x∈R，恒有f (x) >0.

（3）證明：設，則，所以f (x2)＝f [(x2－x1)＋x1]＝f (x2－x1) f (x1)．

因為x2－x1>0，所以f (x2－x1)>1，又f (x1) > 0，

則f (x2－x1) f (x1) > f (x1)，即f (x2) > f (x1)，所以f(x)是R上的增函數．

（4）由f (x)·f (2x－x2) >1， f (0)＝1得f (3x－x2) > f (0)，

又由f (x) 為增函數，所以3x－x2 > 0 0 < x < 3.故x的取值范圍是(0，3)．