Question

在△ABC中，acosC+

3

csinA-b-c=0．
（1）求A；
（2）若a=2，三角形面積為

3

，求b和c；
（3）若a=2，求b+c的范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形

分析：（1）運用正弦定理和兩角和差的正弦公式化簡，即可得到A；
（2）運用三角形的面積公式和余弦定理，解方程即可得到b，c；
（3）運用正弦定理和兩角和差的正弦公式，結合正弦函數的圖象和性質，即可得到范圍．

解答： 解：（1）在△ABC中，acosC+

3

csinA-b-c=0，
由正弦定理，得sinAcosC+

3

sinCsinA-sinB-sinC=0，
sinAcosC+

3

sinCsinA-sin（A+C）-sinC=0，
sinAcosC+

3

sinCsinA-sinAcosC-sinCcosA-sinC=0，
即有

3

sinA-cosA=1，即有sin（A-

π

6

）=

1

2

，
由于0＜A＜π，則A-

π

6

=

π

6

，即有A=

π

3

；
（2）由于a=2，三角形面積為

3

，
則S=

1

2

bcsinA=

3

，即有bc=4，
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA，
即4=b²+c²-bc，即b²+c²=8，
解得，b=c=2；
（3）a=2，A=

π

3

，由正弦定理可得，2R=

a

sinA

=

4 3

3

，
則b+c=2R（sinB+sinC）=

4 3

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]
=

4 3

3

（

3

2

sinB+

3

2

cosB）=4sin（B+

π

6

），
由0＜B＜

2π

3

，則

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
則

1

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，
即有b+c的范圍為（2，4]．

點評：本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運用，考查兩角和差的正弦公式的運用，考查正弦函數的圖象和性質，考查運算能力，屬于中檔題．