Question

若是兩個非零向量，且，則與的夾角的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：不妨設||=1，則||=||=λ．令=，=，以OA、OB為臨邊作平行四邊形OACB，則平行四邊形OACB
為菱形．故有∠OAB=∠OBA=θ，與的夾角，即與的夾角，等于π-θ，且0＜θ＜．△OAC中，由
余弦定理解得 cos2θ=1-．再由 ≤λ≤1求得cos2θ的范圍，從而求得θ的范圍，即可得到與的
夾角的取值范圍．
解答：解：∵，
不妨設||=1，則||=||=λ．
令=，=，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，
則平行四邊形OACB為菱形．
故有△OAB為等腰三角形，故有∠OAB=∠OBA=θ，
且0＜θ＜．
而由題意可得，與的夾角，即與 的夾角，
等于π-θ．
△OAC中，由余弦定理可得 OC²=1=OA²+AC²-2OA•AC•cos2θ=λ²+λ²-2•λ•λcos2θ，
解得 cos2θ=1-．
再由 ≤λ≤1，可得 ≤≤，∴-≤cos2θ≤，∴＜2θ≤，∴＜θ≤，
故 ≤π-θ＜，即與的夾角π-θ的取值范圍是[，）．
點評：本題主要考查兩個向量的加減法及其幾何意義，余弦定理以及不等式的性質的應用，屬于中檔題．