Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2處取得極值，并且它的圖象與直線y=-3x+3在點（1，0）處相切，
（1）求f（x）的解析式；  
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因為函數在x=-2處取得極值，所以f′（-2）=0，又因為函數與直線在點 （1，0 ）處相切，所以f′（1）=-3，代入求得兩個關于a與b的二元一次方程，求出解集得到a和b，又因為函數過點（1，0），代入求出c的值即可．
（2）由（1）求出的值可得導函數的解析式，分別令其大于、小于0可求增、減區間．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（-2）=3×（-2）²+2a×（-2）+b=0
∴12-4a+b=0   ①又f′（1）=3+2a+b=-3  ②，由①②解得a=1，b=-8
又f（x）過點（1，0），
∴1³+a×1²+b×1+c=0，∴c=6
所以f（x）的解析式為：f（x）=x³+x²-8x+6
（2）由（1）知：f（x）=x³+x²-8x+6，所以f′（x）=3x²+2x-8
令3x²+2x-8＜0解得-2＜x＜

4

3

，令3x²+2x-8＞0解得x＜-2，或x＞

4

3

故f（x）的單調遞增區間為（-∞，-2）和（

4

3

，+∞），
f（x）的單調遞減區間為（-2，

4

3

）

點評：考本題查學生利用導數研究函數極值的能力，及會求二元一次方程組解集和一元二次不等式解集的能力，屬中檔題．