Question

已知函數f(x)=

2-x(x≤0) -x2+2ax+1(x＞0)

（a∈R），則下列結論正確的是（　�。�

• A、?a∈R，f（x）有最大值f（a）
• B、?a∈R，f（x）有最小值f（0）
• C、?a∈R，f（x）有唯一零點
• D、?a∈R，f（x）有極大值和極小值

Answer 1

分析：根據指數函數及二次函數的性質，我們分析函數的性質，畫出函數圖象的草圖，進而逐一對四個答案中的結論，進行判定，即可得到答案．

解答：解：根據指數函數及二次函數的性質，我們可得：
函數f(x)=

2-x(x≤0) -x2+2ax+1(x＞0)

（a∈R），即為最大值，也無最小值，故A，B均錯誤；
函數的圖象也X軸有且只有一個交點，故C?a∈R，f（x）有唯一零點，正確；
當a＞0時，f（x）有極大值f（a）和極小值f（0），當a≤0時，f（x）沒有極大值和極小值，故D錯誤；
故選C

點評：本題考查的知識點是函數零點的判定定理，其中熟練掌握指數函數、對數函數的圖象與性質是解答本題的關鍵．