Question

（2007•廣州二模）已知橢圓E的兩個焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），點C(1，

3

2

)在橢圓E上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若點P在橢圓E上，且滿足

PF1

•

PF2

=t，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一：設橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由半焦距c=1，a²-b²=1，點C（1，

3

2

）在橢圓E上，得到

1

a2

+

9

4b2

=1．求出a²，b²，推出橢圓E的方程． 
解法二：設橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），通過點C（1，

3

2

）在橢圓E上，利用2a=|CF₁|+|CF₂|，求出a=2．由已知半焦距c=1，求出b²．然后求出橢圓E的方程． 
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），由

PF1

•

PF2

=t，推出x₀²+y₀²=t+1．點P在曲線C上，

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，得y₀²=t+1-x₀²，然后求出0≤x₀²≤4，解出2≤t≤3．得到實數t的取值范圍．

解答：（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解法一：依題意，設橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知半焦距c=1，∴a²-b²=1．                      ①…（2分）
∵點C（1，

3

2

）在橢圓E上，則

1

a2

+

9

4b2

=1．                ②…（4分）
由①、②解得，a²=4，b²=3．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                                      …（6分）
解法二：依題意，設橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵點C（1，

3

2

）在橢圓E上，∴2a=|CF₁|+|CF₂|，即a=2．         …（3分）
由已知半焦距c=1，∴b²=a²-c²=3．                              …（5分）
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                                      …（6分）
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），由

PF1

•

PF2

=t，得
（-1-x₀．-y₀）•（1-x₀，-y₀）=t，
即x₀²+y₀²=t+1．                                  ③…（8分）
∵點P在曲線C上，
∴

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1．                                    ④
由③得y₀²=t+1-x₀²，代入④，并整理得
x₀²=4（t-2）．                                    ⑤…（10分）
由④知，0≤x₀²≤4，⑥…（12分）
結合⑤、⑥，解得：2≤t≤3．
∴實數t的取值范圍為[2，3]．                                     …（14分）

點評：本小題主要考查橢圓的概念、橢圓的方程等基礎知識，考查待定系數法、數形結合的數學思想與方法，以及運算求解能力．