Question

設△ABC的內角A，B，C的內角對邊分別為a，b，c，滿足（a+b+c）（a-b+c）=ac
（I）求B
（II）若sinAsinC=

3 -1

4

，求C．

Answer 1

分析：（I）已知等式左邊利用多項式乘多項式法則計算，整理后得到關系式，利用余弦定理表示出cosB，將關系式代入求出cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（II）由（I）得到A+C的度數，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡cos（A-C），變形后將cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A-C）的值，利用特殊角的三角函數值求出A-C的值，與A+C的值聯立即可求出C的度數．

解答：解：（I）∵（a+b+c）（a-b+c）=（a+c）²-b²=ac，
∴a²+c²-b²=-ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

1

2

，
又B為三角形的內角，
則B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=

3 -1

4

，cos（A+C）=

1

2

，
∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=

1

2

+2×

3 -1

4

=

3

2

，
∴A-C=30°或A-C=-30°，
則C=15°或C=45°．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．