Question

（備用題）如圖，已知橢圓到它的兩焦點F₁、F₂的距離之和為4，A、B分別是它的左頂點和上頂點．
（I）求此橢圓的方程及離心率；
（II）平行于AB的直線l與橢圓相交于P、Q兩點，求|PQ|的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由橢圓上的點M到它的兩焦點F₁、F₂的距離之和為4，可得a的值，再將M（1，）代入，即可確定橢圓方程及離心率；
（II）設l的方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理確定|PQ|的表達式，從而可求|PQ|的最大值及此時直線l的方程．
解答：解：（I）由題意，∵橢圓上的點M到它的兩焦點F₁、F₂的距離之和為4，
∴2a=4，∴a=2
∴方程為
將M（1，）代入得，∴b²=3，∴c²=1
∴橢圓方程為：，；
（II）∵，∴設l的方程為：
由，∴
∴△=12（6-m²）＞0，∴0≤m²＜6
設，則x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴|PQ|=•==
∵0≤m²＜6，∴m²=0，即m=0時，|PQ|max=，此時l的方程為
點評：本題考查橢圓的定義與標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．