Question

在等比數列{a_n}中，a₂+a₅=18，a₃．a₄=32，并且a_n+1＜a_n（n∈N^*）
（1）求a₂、a₅以及數列{a_n}的通項公式；
（2）設T_n=lga₁+lga₂+lga₃+…+lga_n，求當T_n最大時n的值．

Answer 1

分析：（1）由a₃•a₄=a₂•a₅及a₂+a₅=18可解得a₂，a₅，從而可得關于a₁，q的方程組，根據等比數列通項公式可得a_n；
（2）表示出lga_n，易判斷{lga_n}是等差數列，利用等差數列的求和公式可求得T_n，根據二次函數性質可求得T_n最大時n的值；

解答：解：（1）∵a₃•a₄=a₂•a₅，∴由已知條件可得：

a2+a5=18 a2•a5=32

，并且a₅＜a₂，
解之得：a₂=16，a₅=2，
從而其首項a₁和公比q滿足：

a1q=16 a1q4=2

，解得

a1=32 q= 1 2

，
故數列{a_n}的通項公式為：an=32•(

1

2

)n-1=6-n（n∈N*）；
（2）∵lga_n=lg2^6-n=（6-n）lg2（n∈N*），
∴數列{lga_n}是等差數列，
∴T_n=lga₁+lga₂+lga₃+…+lga_n
=5lg2+4lg2+3lg2+…+（6-n）lg2
=[5+4++3+2+…+（6-n）]lg2
=

n[5+(6-n)]

2

•lg2=

1

2

（11n-n²）lg2，
由于

1

2

lg2＞0，當且僅當11n-n²最大時，T_n最大，
所以當T_n最大時，n=5或6．

點評：本題考查等差數列的求和、等比數列的通項公式，考查學生的運算求解能力，屬中檔題．