Question

求證：不論m取什么實數，直線(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都經過一個定點，并求出這個定點的坐標．

Answer 1

證法一：對于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，

令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.

解方程組x-3y-11=0,x+4y+10=0_{得兩直線的交點為(2，－3)．}

將點(2，－3)代入已知直線方程左邊，得

(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.

這表明不論m取什么實數，所給直線都經過定點(2，－3)．

證法二：將已知方程以m為未知數，整理為(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.

因為m可以取任意實數，所以有2x+y-1=0,-x+3y+11=0_{解得x=2,y=-3}

所以不論m取什么實數所給的直線都經過定點(2，－3)．

[點評]　(1)分別令參數取兩個特殊值得方程組，求出點的坐標，代入原方程滿足，則此點為定點．

(2)直線過定點，即與參數無關，則參數的同次冪的系數為0，從而求出定點．